卡当

卡当卡当:意大利数学家、医生,并在医学、哲学、物理学和星占学中都有一定成就。

?个人简介

  卡当(1501—1576)意大利数学家、医生,并在医学、哲学、物理学和星占学中都有一定成就。1545年著《大术》首先介绍了从塔尔塔利亚那里得来的三次方程的解法,他和学生费拉里发现的四次方程的解法。

?人物生平

  卡当1501年9月24日生于意大利帕维亚。他的童年相当不幸,这就造成了他个性孤僻,、自负,并且往往在言谈中,表现得冷漠无情。他为了逃避穷困、病痛、毁谤和不公平的待遇,曾在25年之中,每天玩骰子,并天天玩棋达40年之久。  青年时代,他致力于研究数学、物理。从帕维亚大学医学院毕业后,在波隆纳和米兰行医并教授他人医术,成为全欧有名的医生。这期间,他也受聘在意大利的多所大学,担任数学讲座教师。

  卡当的坎坷经历使他的性格颇为奇特,因而常常被描述为科学史上的怪人。他在数学、哲学、物理学和医学中都有一定成就,同时也一直醉心于占星术和赌博的研究。卡当被誉为百科全书式的学者,他的著作涵盖了数学、天文学、占星学、物理学、医学以及关于道德方面的语录。一生共写了各种类型的文章、书籍200多种.现存的材料就有约7000页。  他智力超群,但性情孤僻,职业动荡多变,著述鱼龙混杂。除了作为正式职业的著名医生、医学教授、占星术士外,就他的贡献而言,人们也常把他称为数学家、哲学家、物理学家,或者笼统地称之为科学家。

  卡当的数学贡献表现在他对算术和代数的研究,1539年首次出版了他的两本算术演讲书,其中较重要的一部是《算术实践与个体测量》。书中他主要用数值计算来解决实际问题,在一些计算方法、代数变换中显示出较高技巧。当时的代数没有符号,仅靠文字叙述来表示解题过程,称为“文词代数”。对于高于二次的代数方程,一般是没有解决办法的。卡当在书中列专题论述了多种方程的解法,甚至求得一些特殊三次方程的解。例如:方程6×3- 4×2 = 34x + 24,方程两边同时加上6×3 + 20×2,合并后得: 4×2(3x+4) = (2×2+4x+6)(3x+4),两边同除以3x+4,则由二次方程解得原方程的一个正根x=3。按当时的习惯,一般不承认方程有负根,解出一个正根就认为是解完了方程。

?成就代表

  卡当最重要的数学著作是1545年出版的《大术》。该书系统给出代数学中的许多新概念和新方法。例如:三、四次代数方程的一般解法;书中首次出现使用符号的雏形。他对三次及四次方程式提出了系统性的解法,这是一个非常重要的成就。他确认高于一次的代数方程多于一个根;已知方程的一个根将原方程降阶;方程的根与系数间的某些关系;利用反复实施代换的方法求得数值方程的近似解;解方程中虚根的使用等等。  在十六世纪初期,数学家们就在寻找三次代数方程的一般解法。其中的代表人物有塔尔塔利亚、卡当、菲奥尔等。塔尔塔利亚研究了x3 + px = q,x3 = px + q 和x3+px2 = q (p,q为正数)三类方程的解法。到1541年已发现x3 ±px2 =±q和由此变换而得到的x3±mx = ±n (m,n为正数) 等多种类型的方程的一般解法。卡当也在研究三次方程的解法,曾向塔尔塔利亚请教,卡当从各方面详细研究了塔尔塔利亚的解法,并以此为线索,得出各种类型三次方程的解法。他将这些解法收在《大术》中发表出去,同时补充了各种方法的证明。由于《大术》的影响,三次方程的解法还是冠以“卡当公式”流传开来。卡当公式就是对于不完全三次方程x3 + px + q = 0,其求根公式是:  .   卡当在代数学上的另一个贡献,是认真地引入了虚数,并接受虚数是方程式的根。虚数的出现,是数学史上一件大事。虚数和原有的实数统称为复数系。根据代数基本定理,在复数系里任何多项式必有根,而且n次多项式恰有n个根,这就解决了根的存在性问题。要解出方程式的根,在复数系中,便可迎刃而解了。除了在代数学上的重要成就,卡当在概率论这门学科上,也扮演了奠基的工作。并著有《博奕论》一书。

  埃里,卡当,亦译作埃利·嘉当,全名埃利·约瑟夫·嘉当(Élie Joseph Cartan,1869年4月9日─1951年5月6日),法国数学家。他在李群理论和其集合应用方面奠定基础。他也对数学物理,微分几何、群论做出了重大贡献。  嘉当生于萨瓦的多洛姆厄,在1888年成为巴黎的巴黎高师的一名学生。在1894年取得博士学位后,他在蒙比利艾和里昂任教,并于1903年在南锡当上教授。他在1909年到巴黎任教,并于1912年成为教授,而在1942年退休。他卒于巴黎。数学家亨利·嘉当是他的儿子。曾指导过华人数学家陈省身。

  据他自己在“科研简介”(Notice sur les travaux scientifiques)所作的描述,他的工作(总数达186,发表于1893-1947年间)的主题是李群的理论。他从在复的简单李代数上的基础材料上的工作开始,把恩格尔(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing)先前的工作整理起来。这被证明是有决定性意义的,至少对于分类来讲,他鉴定出4个主要的族和5个特殊情况。他也引入了代数群的概念,它在1950年之前并没有被认真的发展过。  他也定义了反对称微分形式的一般概念,以我们现在所使用的风格;他通过马尤厄-嘉当方程处理李群的方式要用到2-形式来表达。那时,称为Pfaffian系统(也就是用1-形式表达的1阶微分方程组)的概念很常用;通过引入表示导数的新变量,和额外的微分形式,他们可以表述很一般的偏微分方程(PDE)系统。嘉当加入了外导数,作为一个完全几何式的坐标无关的操作。这很自然导致了对于一般的p讨论p-形式的需要。嘉当描述了Riquier的一般PDE理论对他的影响。  基于这些基础 u2013 李群和微分形式 u2013 他继续深入完成了大量工作,以及一些通用的技术,例如移动标架法,这些逐渐融入到数学的主流中。

  在“科研简介”中,他把自己的工作分成15个领域。用现代术语来描述,他们是:  李群  李群的表示  超复数(Hypercomplex number), 除法代数(division algebra)   PDE系统, Cartan-Kähler定理  等价性理论  可积系统,延长理论(theory of prolongation)和回旋系统(systems in involution)。  无穷维群和伪群  微分几何和活动标架法  一般化空间及其上的结构群和联络,嘉当联络,和乐(holonomy),Weyl张量  李群的几何和拓扑  黎曼几何  对称空间  紧群的拓扑和它们的齐次空间  积分不变量和经典力学  相对论, 旋子  这些课题的大部分被后来的数学家完整的研究了。但不是全部:嘉当自己的方法惊人的统一,但大部分的后续工作可以说失去了他的特色。也就是说,变得更代数化。  看看这些不太主流的领域:  PDE理论必须包含奇异解(也就是包络]),例如在Clairaut方程中所见到的那样;   延长方法应该在回旋系统中中止(这是解析理论,而不是光滑理论,并导向形式化可积性理论和Spencer上同调);  等效性问题,如他所说,是通过把结构的图像变成微分系统的积分流形来建立它们的微分同胚(并由此发现不变量);  活动标架法,不但和主丛和它们的联络有关,也需要使用和几何相适应的标架;  现在,Ehresmann的jet丛方法被用于把切触作为系统化的等价关系。  所以,从某种意义上来说,嘉当的工作的独特的一面仍然正在被数学家们所消化。这可以在诸如变分法,Bäcklund变换和微分系统的一般理论之类的领域中不断的见到;大致来讲,这些是微分代数的那些感到现存的加罗华理论所导出的对称性模型过于狭窄并需要使用和关系的范畴更类似的东西的部分领域。

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